NHỮNG BÍ MẬT VỀ CẦU VỒNG

Cầu vồng, một hiện tượng quang học ngoạn mục và quen thuộc, thường được giải thích một cách đơn giản trong sách giáo khoa là kết quả của sự khúc xạ, phản xạ toàn phần và tán sắc ánh sáng qua các giọt nước mưa. Tuy nhiên, đằng sau vẻ đẹp lộng lẫy đó là cả một thế giới vật lý phức tạp và kỳ diệu hơn nhiều. Bài viết này sẽ đưa bạn đọc đi sâu vào những khía cạnh ít được biết đến của cầu vồng, từ sự hình thành dải màu, hình dạng vòng cung, sự phân cực ánh sáng, đến các hiện tượng quang học liên quan như cầu vồng đôi, dải tối Alexander, và các hiện tượng giao thoa như cầu vồng siêu số và hiện tượng glory. Chúng ta sẽ khám phá tại sao mỗi người lại nhìn thấy một cầu vồng của riêng mình, tại sao cầu vồng lại sáng hơn ở bên trong, và làm thế nào những giọt nước siêu nhỏ có thể tạo ra những hiệu ứng quang học đáng kinh ngạc.

MỤC LỤC

  1. Lời nói đầu: Vượt ra ngoài lời giải thích đơn giản
  2. Cơ chế cơ bản: Hành trình của ánh sáng qua một giọt nước
    • 2.1. Khúc xạ và Tán sắc: Bước đầu tiên của sự phân tách màu sắc
    • 2.2. Phản xạ bên trong: Sự quay đầu của ánh sáng
    • 2.3. Khúc xạ lần hai: Thoát khỏi giọt nước
  3. Góc tán xạ cực đại và Sự hình thành dải màu
    • 3.1. Khái niệm Góc tán xạ
    • 3.2. Sự phụ thuộc của góc tán xạ vào điểm tới
    • 3.3. Góc tán xạ cực đại (Góc cầu vồng) và Đường xút (Caustic)
    • 3.4. Tại sao các màu sắc lại tách biệt? Vai trò của chiết suất
  4. Từ giọt nước đến bầu trời: Hình thành vòng cung cầu vồng
    • 4.1. Hình nón ánh sáng từ một giọt nước
    • 4.2. Tập hợp hàng tỷ giọt nước: Sự hình thành vòng cung
    • 4.3. Tại sao là hình cung tròn?
    • 4.4. Vị trí của người quan sát và Tính duy nhất của cầu vồng
  5. Các đặc điểm thú vị khác của cầu vồng
    • 5.1. Tại sao bên trong cầu vồng lại sáng hơn bên ngoài?
    • 5.2. Sự phân cực của ánh sáng cầu vồng và Góc Brewster
    • 5.3. Thời điểm và vị trí quan sát cầu vồng
  6. Vượt ra ngoài cầu vồng bậc một
    • 6.1. Cầu vồng đôi (Cầu vồng bậc hai) và Dải tối Alexander
    • 6.2. Cầu vồng bậc cao hơn
  7. Hiệu ứng giao thoa: Khi kích thước giọt nước quan trọng
    • 7.1. Cầu vồng siêu số (Supernumerary Rainbows)
    • 7.2. Hiện tượng Glory (Vòng hào quang) và Bóng ma Brocken
  8. Kết luận: Vẻ đẹp của sự hiểu biết
  9. Tài liệu tham khảo và Đọc thêm

1. LỜI NÓI ĐẦU: VƯỢT RA NGOÀI LỜI GIẢI THÍCH ĐƠN GIẢN

"Nhìn kìa! Thật đẹp!" - đó là phản ứng tự nhiên của bất kỳ ai khi bắt gặp một chiếc cầu vồng rực rỡ vắt ngang bầu trời sau cơn mưa. Đối với trẻ em, đó là một phép màu. Đối với người lớn, đó là một khoảnh khắc của sự ngỡ ngàng trước vẻ đẹp của tự nhiên. Và đối với những tâm hồn tò mò, đó là một câu hỏi lớn: "Tại sao?".

Trong trường học, chúng ta thường được dạy một lời giải thích khá đơn giản: Ánh sáng mặt trời (ánh sáng trắng) đi vào giọt nước mưa, bị khúc xạ (bẻ cong), sau đó phản xạ ở mặt sau của giọt nước, và cuối cùng khúc xạ một lần nữa khi đi ra ngoài. Do ánh sáng trắng là sự tổng hợp của nhiều màu sắc, và mỗi màu lại bị bẻ cong một góc khác nhau (tán sắc), nên chúng ta nhìn thấy một dải màu.

Lời giải thích này không sai, nhưng nó chưa đủ. Nó giống như việc nói rằng một chiếc ô tô chạy được là nhờ động cơ đốt trong, mà bỏ qua hàng loạt các hệ thống phức tạp khác như truyền động, phanh, điện tử, v.v. Nếu chỉ dừng lại ở đó, chúng ta sẽ không thể trả lời được những câu hỏi sâu sắc hơn: Tại sao cầu vồng lại có hình cung? Tại sao thứ tự màu sắc lại như vậy? Tại sao bên trong cầu vồng lại sáng hơn bên ngoài? Tại sao đôi khi ta thấy cầu vồng đôi? Và tại sao cầu vồng lại biến mất khi ta đeo kính râm phân cực?

Bài viết này sẽ đưa bạn đi sâu hơn vào vật lý của cầu vồng, khám phá những chi tiết tinh tế và kỳ diệu mà có thể bạn chưa từng được nghe đến trong lớp học. Chúng ta sẽ thấy rằng, cầu vồng không chỉ là một hiện tượng quang học đơn thuần, mà là một bản giao hưởng của ánh sáng, nước và đôi mắt của người quan sát.

2. CƠ CHẾ CƠ BẢN: HÀNH TRÌNH CỦA ÁNH SÁNG QUA MỘT GIỌT NƯỚC

Để hiểu cầu vồng, trước tiên ta phải hiểu điều gì xảy ra khi một tia sáng mặt trời gặp một giọt nước mưa hình cầu.

2.1. Khúc xạ và Tán sắc: Bước đầu tiên của sự phân tách màu sắc

Khi một tia sáng đi từ không khí vào nước, nó bị đổi hướng. Hiện tượng này gọi là khúc xạ. Nguyên nhân là do tốc độ ánh sáng trong nước chậm hơn trong không khí. Sự thay đổi tốc độ này khiến tia sáng bị "bẻ cong" tại mặt phân cách. Mức độ bẻ cong phụ thuộc vào chiết suất của nước (khoảng 1.33) và góc tới của tia sáng.

Điều quan trọng là chiết suất của nước không giống nhau đối với mọi màu sắc ánh sáng. Ánh sáng tím (bước sóng ngắn, tần số cao) có chiết suất lớn hơn một chút so với ánh sáng đỏ (bước sóng dài, tần số thấp). Do đó, ánh sáng tím bị bẻ cong nhiều hơn ánh sáng đỏ. Đây chính là hiện tượng tán sắc, nguyên nhân khiến ánh sáng trắng bị tách thành các màu thành phần khi đi vào giọt nước.

2.2. Phản xạ bên trong: Sự quay đầu của ánh sáng

Sau khi đi vào giọt nước, tia sáng truyền đến mặt sau của nó. Tại đây, một phần ánh sáng sẽ khúc xạ ra ngoài không khí phía sau, nhưng một phần đáng kể sẽ bị phản xạ trở lại bên trong giọt nước. Đây là sự phản xạ bên trong (không nhất thiết là phản xạ toàn phần).

2.3. Khúc xạ lần hai: Thoát khỏi giọt nước

Tia sáng đã phản xạ bên trong tiếp tục di chuyển đến mặt trước của giọt nước và khúc xạ một lần nữa để thoát ra ngoài không khí. Một lần nữa, sự tán sắc lại xảy ra, làm tăng thêm sự tách biệt giữa các màu. Tổng cộng, tia sáng đã bị đổi hướng so với tia tới ban đầu. Góc giữa tia tới từ mặt trời và tia ló ra khỏi giọt nước đi tới mắt người quan sát được gọi là góc tán xạ.

3. GÓC TÁN XẠ CỰC ĐẠI VÀ SỰ HÌNH THÀNH DẢI MÀU

Đây là điểm mấu chốt mà lời giải thích đơn giản thường bỏ qua. Không phải mọi tia sáng đi vào giọt nước đều tạo ra cầu vồng.

3.1. Khái niệm Góc tán xạ

Hãy tưởng tượng một chùm tia sáng song song từ mặt trời chiếu vào một giọt nước hình cầu. Các tia sáng đập vào giọt nước ở các vị trí khác nhau (gọi là tham số va chạm). Tia sáng đi qua tâm giọt nước sẽ đi thẳng và phản xạ ngược lại (góc tán xạ 180 độ). Các tia sáng càng xa tâm sẽ bị lệch đi một góc khác nhau.

3.2. Sự phụ thuộc của góc tán xạ vào điểm tới

Nếu ta vẽ đồ thị góc tán xạ theo khoảng cách từ tia tới đến tâm giọt nước, ta sẽ thấy một điều thú vị. Khi điểm tới di chuyển từ tâm ra rìa giọt nước, góc tán xạ ban đầu giảm xuống, đạt đến một giá trị cực tiểu, rồi sau đó lại tăng lên.

Giá trị cực tiểu này là rất quan trọng. Nó có nghĩa là có một góc mà tại đó, ánh sáng bị "tập trung" nhiều nhất. Các tia sáng tới ở các vị trí gần nhau xung quanh điểm đặc biệt này sẽ ló ra ở các góc rất gần nhau, tạo nên một chùm tia sáng mạnh mẽ ở hướng đó.

3.3. Góc tán xạ cực đại (Góc cầu vồng) và Đường xút (Caustic)

Góc tán xạ cực tiểu này thực ra tương ứng với góc lệch cực đại của tia sáng so với hướng ban đầu của nó (khi đo từ hướng ngược lại của tia tới). Góc này được gọi là "góc cầu vồng". Đối với ánh sáng đỏ, góc này là khoảng 42 độ. Đối với ánh sáng tím, nó là khoảng 40 độ.

Sự tập trung ánh sáng tại góc này tạo ra một hiện tượng quang học gọi là đường xút (caustic). Đây là nơi cường độ sáng cao nhất. Bạn có thể quan sát thấy đường xút khi chiếu đèn pin vào một cốc thủy tinh tròn chứa đầy nước; ánh sáng sẽ tập trung thành một đường cong sáng rực trên mặt bàn phía sau cốc.

3.4. Tại sao các màu sắc lại tách biệt? Vai trò của chiết suất

Như đã đề cập, chiết suất của nước khác nhau đối với các màu khác nhau. Do đó, góc tán xạ cực đại cũng khác nhau cho từng màu.

  • Ánh sáng đỏ (chiết suất thấp nhất) có góc tán xạ cực đại lớn nhất, khoảng 42 độ.
  • Ánh sáng tím (chiết suất cao nhất) có góc tán xạ cực đại nhỏ nhất, khoảng 40 độ.
  • Các màu khác (cam, vàng, lục, lam, chàm) nằm ở giữa.

Sự khác biệt khoảng 2 độ này chính là nguyên nhân tạo nên độ rộng của dải cầu vồng mà ta nhìn thấy.

4. TỪ GIỌT NƯỚC ĐẾN BẦU TRỜI: HÌNH THÀNH VÒNG CUNG CẦU VỒNG

Bây giờ, hãy mở rộng từ một giọt nước sang hàng tỷ giọt nước mưa trên bầu trời.

4.1. Hình nón ánh sáng từ một giọt nước

Do tính đối xứng cầu của giọt nước, các tia sáng đi vào giọt nước ở cùng một khoảng cách từ tâm (trên một vòng tròn) sẽ tạo ra các tia ló có cùng góc tán xạ, tạo thành một hình nón ánh sáng rỗng với đỉnh tại giọt nước. Góc mở của hình nón này chính là góc cầu vồng (40-42 độ).

4.2. Tập hợp hàng tỷ giọt nước: Sự hình thành vòng cung

Khi bạn nhìn lên bầu trời sau cơn mưa, có vô số giọt nước đang được chiếu sáng bởi mặt trời phía sau lưng bạn. Mỗi giọt nước đều phát ra một hình nón ánh sáng cầu vồng. Tuy nhiên, mắt bạn chỉ có thể nhìn thấy ánh sáng từ những giọt nước nằm ở vị trí thích hợp.

Những giọt nước nào sẽ gửi ánh sáng đỏ đến mắt bạn? Đó là những giọt nước nằm trên một bề mặt hình nón có đỉnh tại mắt bạn và trục là đường thẳng nối mắt bạn với mặt trời (điểm đối nhật). Góc giữa đường sinh của hình nón này và trục là 42 độ.

Tương tự, những giọt nước gửi ánh sáng tím đến mắt bạn nằm trên một hình nón đồng trục khác, với góc mở là 40 độ.

4.3. Tại sao là hình cung tròn?

Giao tuyến của các hình nón này với "màn mưa" (tập hợp các giọt nước trong không khí) là các đường tròn. Do đó, chúng ta nhìn thấy cầu vồng là một dải các cung tròn đồng tâm. Màu đỏ ở ngoài cùng (góc 42 độ), màu tím ở trong cùng (góc 40 độ), và các màu khác ở giữa.

Nếu mặt đất không cản trở, và có đủ hạt mưa, bạn sẽ nhìn thấy cầu vồng là một vòng tròn hoàn chỉnh. Điều này đôi khi có thể quan sát được từ trên máy bay.

4.4. Vị trí của người quan sát và Tính duy nhất của cầu vồng

Tâm của cầu vồng luôn nằm trên đường thẳng nối từ mặt trời đi qua mắt người quan sát. Điều này có nghĩa là mỗi người sẽ nhìn thấy một cầu vồng của riêng mình, được tạo ra bởi một tập hợp các giọt nước khác nhau. Khi bạn di chuyển, cầu vồng cũng di chuyển theo bạn. Không ai có thể nhìn thấy chính xác cùng một cầu vồng như bạn, ngay cả khi đứng ngay cạnh nhau. Đây là một sự thật thú vị: cầu vồng là một trải nghiệm cá nhân độc nhất.

5. CÁC ĐẶC ĐIỂM THÚ VỊ KHÁC CỦA CẦU VỒNG

5.1. Tại sao bên trong cầu vồng lại sáng hơn bên ngoài?

Nếu quan sát kỹ, bạn sẽ thấy vùng trời bên trong cung cầu vồng (dưới vòm màu tím) thường sáng hơn vùng trời bên ngoài (trên vòm màu đỏ).

Lý do là, như đã phân tích ở phần 3.2, góc tán xạ 40-42 độ là góc cực đại mà ánh sáng có thể thoát ra sau một lần phản xạ bên trong. Các tia sáng đi vào giọt nước ở các vị trí khác (không tạo ra đường xút) sẽ thoát ra ở các góc nhỏ hơn 42 độ.

Điều này có nghĩa là các giọt nước bên trong vòng cung cầu vồng vẫn gửi ánh sáng (hỗn hợp của nhiều màu, tạo thành ánh sáng trắng) đến mắt bạn, làm cho vùng này sáng hơn. Ngược lại, các giọt nước bên ngoài vòng cung 42 độ không thể gửi bất kỳ tia sáng nào (sau một lần phản xạ) đến mắt bạn, nên vùng đó tối hơn.

5.2. Sự phân cực của ánh sáng cầu vồng và Góc Brewster

Ánh sáng mặt trời là ánh sáng không phân cực (các vectơ điện trường dao động theo mọi hướng ngẫu nhiên). Tuy nhiên, khi ánh sáng phản xạ và khúc xạ, trạng thái phân cực của nó có thể thay đổi.

Một khám phá thú vị là góc phản xạ bên trong giọt nước tạo nên cầu vồng rất gần với góc Brewster của nước. Tại góc Brewster, ánh sáng phản xạ bị phân cực hoàn toàn theo phương vuông góc với mặt phẳng tới.

Kết quả là, ánh sáng cầu vồng bị phân cực mạnh. Vectơ điện trường của nó chủ yếu dao động theo phương tiếp tuyến với vòng cung cầu vồng. Đây là lý do tại sao nếu bạn đeo kính râm phân cực (loại kính chỉ cho ánh sáng phân cực theo phương thẳng đứng đi qua để chống chói từ mặt đường nằm ngang), và xoay đầu hoặc xoay kính, bạn có thể làm cho cầu vồng mờ đi hoặc biến mất.

5.3. Thời điểm và vị trí quan sát cầu vồng

Để thấy cầu vồng, mặt trời phải ở phía sau lưng bạn và phía trước phải có mưa (hoặc sương mù, thác nước). Do tâm cầu vồng nằm trên đường thẳng nối mặt trời và mắt bạn, nên độ cao của cầu vồng phụ thuộc vào độ cao của mặt trời.

  • Khi mặt trời mọc hoặc lặn (ở chân trời), tâm cầu vồng nằm trên đường chân trời, và bạn có thể thấy một nửa vòng tròn.
  • Khi mặt trời lên cao, tâm cầu vồng chìm xuống dưới chân trời, và phần vòng cung nhìn thấy được sẽ thấp dần.
  • Nếu mặt trời cao hơn 42 độ so với chân trời, cầu vồng bậc một sẽ nằm hoàn toàn dưới chân trời và bạn sẽ không thể nhìn thấy nó từ mặt đất (trừ khi bạn đang ở trên cao hoặc nhìn vào thác nước bên dưới). Đó là lý do tại sao chúng ta thường chỉ thấy cầu vồng vào buổi sáng sớm hoặc chiều muộn.

6. VƯỢT RA NGOÀI CẦU VỒNG BẬC MỘT

6.1. Cầu vồng đôi (Cầu vồng bậc hai) và Dải tối Alexander

Đôi khi, bên ngoài cầu vồng chính (bậc một), ta còn thấy một cầu vồng thứ hai mờ hơn, với thứ tự màu sắc đảo ngược (tím ở ngoài, đỏ ở trong). Đây là cầu vồng bậc hai.

Nó được hình thành bởi các tia sáng trải qua hai lần phản xạ bên trong giọt nước trước khi thoát ra. Do mỗi lần phản xạ đều làm mất đi một phần năng lượng ánh sáng, nên cầu vồng bậc hai mờ hơn nhiều so với cầu vồng bậc một.

Góc tán xạ của cầu vồng bậc hai là khoảng 50-53 độ. Do đó, nó nằm bên ngoài cầu vồng bậc một. Thứ tự màu sắc bị đảo ngược là do hình học của đường đi tia sáng sau hai lần phản xạ.

Vùng trời nằm giữa hai cầu vồng (từ 42 đến 50 độ) thường tối hơn hẳn so với các vùng khác. Vùng này được gọi là Dải tối Alexander (theo tên của Alexander xứ Aphrodisias, người đầu tiên mô tả nó vào thế kỷ thứ 2 sau Công nguyên). Lý do là trong khoảng góc này, không có tia sáng nào (từ phản xạ bậc một hoặc bậc hai) có thể đến được mắt người quan sát.

6.2. Cầu vồng bậc cao hơn

Về lý thuyết, ánh sáng có thể phản xạ 3, 4, hoặc nhiều lần hơn nữa bên trong giọt nước, tạo ra các cầu vồng bậc cao hơn.

  • Cầu vồng bậc 3 và 4 được hình thành ở phía đối diện bầu trời (về phía mặt trời). Chúng rất mờ và thường bị ánh sáng chói của mặt trời che khuất, nên rất khó quan sát trong tự nhiên.
  • Trong điều kiện phòng thí nghiệm được kiểm soát chặt chẽ, các nhà khoa học đã quan sát và chụp ảnh được cầu vồng lên đến bậc 200!

7. HIỆU ỨNG GIAO THOA: KHI KÍCH THƯỚC GIỌT NƯỚC QUAN TRỌNG

Mô hình quang hình học (tia sáng) giải thích tốt các đặc điểm chính của cầu vồng, nhưng nó không hoàn hảo. Nó không giải thích được một số hiện tượng tinh tế hơn, đòi hỏi phải xem xét tính chất sóng của ánh sáng, đặc biệt là hiện tượng giao thoa.

7.1. Cầu vồng siêu số (Supernumerary Rainbows)

Đôi khi, ngay bên trong vòm màu tím của cầu vồng chính, ta có thể thấy một vài dải màu hẹp, mờ, lặp lại (thường là hồng và xanh lá cây). Đây là các cầu vồng siêu số.

Chúng không thể được giải thích bằng quang hình học. Chúng là kết quả của sự giao thoa giữa các tia sáng đi ra từ giọt nước theo cùng một hướng nhưng đã đi qua các đường đi có độ dài hơi khác nhau bên trong giọt nước.

Sự hiện diện và khoảng cách của các cầu vồng siêu số phụ thuộc rất nhiều vào kích thước của giọt nước mưa.

  • Giọt nước lớn (mưa rào): Các vân giao thoa quá sát nhau, không thể phân biệt được. Cầu vồng chính rất sáng và rõ nét.
  • Giọt nước nhỏ (mưa phùn, sương mù): Các vân giao thoa tách rộng ra, tạo thành các cầu vồng siêu số rõ ràng. Cầu vồng chính có thể trông rộng hơn và màu sắc nhạt hơn (thậm chí gần như trắng trong trường hợp sương mù - gọi là cầu vồng sương mù hay cầu vồng trắng).

Do đó, sự xuất hiện của cầu vồng siêu số là một dấu hiệu cho biết kích thước của các giọt nước mưa khá nhỏ và đồng đều.

7.2. Hiện tượng Glory (Vòng hào quang) và Bóng ma Brocken

Một hiện tượng quang học khác liên quan đến giao thoa và các giọt nước siêu nhỏ là Glory (vòng hào quang). Nó xuất hiện dưới dạng các vòng tròn màu sắc đồng tâm xung quanh bóng của đầu người quan sát (hoặc bóng của máy bay) chiếu lên một đám mây hoặc màn sương mù bên dưới.

Khác với cầu vồng (góc 42 độ), glory có kích thước góc nhỏ hơn nhiều (chỉ vài độ) và tâm của nó nằm ngay tại điểm đối nhật (nơi bóng của bạn xuất hiện).

Cơ chế của glory rất phức tạp, liên quan đến sự nhiễu xạ, phản xạ bề mặt và sự lan truyền sóng bề mặt trên các giọt nước siêu nhỏ. Nó là một ví dụ tuyệt vời về việc tính chất sóng của ánh sáng trở nên quan trọng như thế nào khi tương tác với các vật thể có kích thước tương đương bước sóng.

Bóng ma Brocken là một hiện tượng liên quan, khi bóng của người quan sát được phóng to một cách kỳ lạ trên màn sương mù, thường được bao quanh bởi một vòng glory.

8. KẾT LUẬN: VẺ ĐẸP CỦA SỰ HIỂU BIẾT

Cầu vồng không chỉ là một hiện tượng đẹp mắt để ngắm nhìn. Nó là một phòng thí nghiệm quang học tự nhiên khổng lồ, trưng bày các nguyên lý cơ bản của ánh sáng: khúc xạ, phản xạ, tán sắc, phân cực và giao thoa.

Từ mô hình tia sáng đơn giản của Newton và Descartes đến lý thuyết sóng phức tạp của Young và Airy, việc tìm hiểu cầu vồng đã thúc đẩy sự phát triển của quang học trong nhiều thế kỷ.

Lời giải thích đơn giản trong sách giáo khoa là một khởi điểm tốt, nhưng nó chỉ là phần nổi của tảng băng chìm. Khi chúng ta đào sâu hơn, chúng ta khám phá ra một thế giới phong phú và tinh tế hơn nhiều. Việc hiểu được cơ chế vật lý đằng sau cầu vồng không hề làm giảm đi vẻ đẹp của nó, mà ngược lại, nó làm cho sự đánh giá của chúng ta về hiện tượng này trở nên sâu sắc hơn. Chúng ta không chỉ nhìn thấy các dải màu, mà chúng ta "nhìn thấy" cả vũ điệu của các photon, sự tương tác phức tạp giữa ánh sáng và vật chất, và vai trò của chính chúng ta trong việc tạo nên trải nghiệm thị giác độc đáo đó.

Lần tới khi bạn nhìn thấy một chiếc cầu vồng, hãy dành một chút thời gian để quan sát kỹ hơn. Hãy tìm dải tối Alexander, hãy thử tìm cầu vồng đôi, hãy để ý xem bên trong có sáng hơn bên ngoài không, và nếu may mắn, bạn có thể bắt gặp những dải cầu vồng siêu số mờ ảo. Và hãy nhớ rằng, bạn đang chứng kiến một trong những màn trình diễn vật lý ngoạn mục nhất của tự nhiên, một màn trình diễn được thiết kế riêng cho đôi mắt của chính bạn.

9. TÀI LIỆU THAM KHẢO VÀ ĐỌC THÊM

  • Minnaert, M. G. J. (1993). The Nature of Light and Colour in the Open Air. Dover Publications. (Một cuốn sách kinh điển tuyệt vời về các hiện tượng quang học trong tự nhiên).
  • Greenler, R. (1980). Rainbows, Halos and Glories. Cambridge University Press.
  • Lynch, D. K., & Livingston, W. (2001). Color and Light in Nature. Cambridge University Press.
  • Trang web Atmospheric Optics (atoptics.co.uk): Một nguồn tài nguyên trực tuyến tuyệt vời với hình ảnh và lời giải thích chi tiết về nhiều hiện tượng quang học khí quyển, bao gồm cả cầu vồng.
  • Video "What They (Probably) Don't Teach You About Rainbows At School" của kênh YouTube Veritasium.